Monty Hallův paradox aneb Podmíněná pravděpodobnost v praxi

Jste v televizní soutěži, úspěšně jste prošli všemi koly a máte před sebou poslední úkol: vybrat jedny z trojích dveří, kde se skrývá vaše výhra. Za dvojími z nich je malá cena, např. dárkový poukaz v hodnotě 1 000 Kč. Za třetími je cena velká, např. auto. Moderátor soutěže ví, co se nachází za kterými dveřmi, ale vy jako soutěžící to samozřejmě netušíte.

Řekněme, že jste si vybrali dveře A. Moderátor bude stupňovat napětí a nejprve ukáže, že za dveřmi C je dárkový poukaz. Moderátor se vás zeptá, jestli si tuto výhru chcete ponechat. To samozřejmě nechcete, a proto vám dá opět na výběr. Trváte na dveřích A, anebo je radši vyměníte za dveře B? Co byste zvolili vy? Čas na rozmyšlenou běží…

Řešení:

Nejprve si označme pravděpodobnosti výhry při prvotním výběru P(A=V) = P(B=V) = P(C=V) = 1/3. Dále podmíněné pravděpodobnosti, že moderátor otevře dveře C, když už soutěžící vybral dveře A: P(C_otevře|A=V)=1/2, P(C_otevře|B=V)=1, P(C_otevře|C=V)=0. Zajímá nás pravděpodobnost výhry, když změníme volbu, tj. P(B=V|C_otevře).

Podle Bayesovy věty:

Tudíž je výhodnější svou prvotní volbu změnit, protože pak máme dvojnásobnou šanci na velkou výhru.

Specifický a senzitivní test aneb podmíněná pravděpodobnost v praxi II

Nemoc se vyskytuje vzácně, u 1 % lidí. Přítomnost nemoci se testuje citlivým vyšetřením, které indikuje nemoc (pozitivní výsledek) s pravděpodobností 95 % u nemocných a s pravděpodobností 70 % zamítá nemoc (negativní výsledek) u zdravých lidí, tj. prevalence nemoci je 1 %, senzitivita testu je 95 % a specificita testu je 70 %.

Dále se u pozitivně vyšetřených provádí ještě druhé specifické vyšetření. To u zdravého člověka vyloučí nemoc s pravděpodobností 99 %, zatímco u nemocného člověka vyloučí nemoc s pravděpodobností 10 %.

Jaká je pravděpodobnost, že je člověk nemocný, byl-li označen druhým testem za nemocného, a jaká je pravděpodobnost, že je člověk zdravý, byl-li druhým testem označen za zdravého?

Řešení:

Pravděpodobnost výskytu nemoci je P(N) = 0,01, senzitivita prvního testu je P(+₁|N) = 0,95 a jeho specificita P(-₁|Z) = 0,7.

Pravděpodobnost, že je člověk nemocný, byl-li označen prvním testem za nemocného, je

Pravděpodobnost, že je člověk zdravý, byl-li označen prvním testem za zdravého, je

Pokud je člověk označen prvním testem za nemocného, pravděpodobnost, že je zdravý, P(Z|+₁) = 1 – P (N|+₁), je velmi vysoká – 96,9 % (je to díky tomu, že nemoc se v populaci vyskytuje velmi vzácně). Proto se používá druhý specifický test, který je na prvním testu nezávislý a pro který dle zadání platí  P(+₂ |N) = 0,90 a P(-₂ |Z) = 0,99. Dále budeme používat značení p, pokud oba testy dopadly pozitivně, tedy p = +₁+₂ , a n, pokud první test dopadl negativně nebo pokud první test dopadl pozitivně a zároveň druhý negativně, tj. n = –₁ U +₁–₂.

Pravděpodobnost pozitivního nálezu u nemocného člověka je tedy

Pravděpodobnost pozitivního nálezu u zdravého člověka je

Pravděpodobnost, že je člověk nemocný, pokud má po obou testech pozitivní nález, je

Pravděpodobnost, že je člověk zdravý, pokud má negativní nález je

Fakt, že je pravděpodobnost P(Z|n) menší než pravděpodobnost P(Z|-₁), je dan tím, že jev n = –₁ U +₁–₂ v sobě zahrnuje i případy, kdy první test dopadl pozitivně a kdy o výsledku druhého testu nic nevíme, když první test dopadl negativně. Pravděpodobnost jevu P(Z|-₁–₂) je v souladu s očekáváním větší než P(Z|-₁).